6. Calcula e interpreta la razón de cambio promedio de una función (presentada de manera simbólica o en forma de tabla) durante un intervalo específico. Calcula la razón de cambio a partir de una gráfica.

¿A quién (aparte de Ross Geller de la serie de televisión Friends) no le gusta el helado? A los seres humanos nos encanta el helado y todos sabemos que es el postre favorito de los pingüinos. Comen, respiran y duermen en la nieve. Bueno, en realidad, solo la comen. Si respiraran helado seguro que ya no habría pingüinos.

La idea es que los pingüinos se comen el helado directo del recipiente, ¡y rápido! Digamos que h(t) = h₀ – At representa la altura del helado en su recipiente después de t horas, donde h₀ es la altura inicial del helado. A es la cantidad de helado que come un pingüino por hora.

En ese caso, la razón de cambio promedio entre dos valores es nada más que el cambio en el nivel del helado (los valores de la función) durante el cambio en el tiempo (los valores del dominio). En otras palabras:

Los estudiantes deben saber que, en general, podemos escribir lo mismo para cualquier función f(n):

Por ejemplo, si un pingüino come helado a una velocidad de A = 1 centímetros por hora y el nivel inicial del helado es de 8 centímetros, la razón de cambio entre las t₁ = 3 horas y las t₂ = 5 horas, podemos calcular la razón de cambio promedio:

Si trazáramos h(t), veríamos que esta razón de cambio es solo la inclinación de la línea puesto que h(t) tiene la forma de y = mx + b. También teníamos esta información desde el principio, ya que A es la inclinación de la ecuación lineal y ya se había dicho que A equivalía a 1 centímetro por hora.

Los estudiantes deben saber que podemos encontrar la razón de cambio si tenemos una tabla con los valores x e y. En serio, es lo mismo, ni más ni menos, que encontrar la inclinación:

Sin embargo, para las funciones no lineales la razón de cambio entre dos puntos cualesquiera puede no ser la misma que la razón de cambio de la función en general. Por ejemplo, digamos que tenemos la siguiente tabla de datos.

En este caso, notamos que la inclinación de la línea o la razón de cambio entre las medidas no es constante. Por eso definimos la razón de cambio a lo largo de un recorrido específico, digamos, entre cada par de puntos adyacentes.

En este otro caso no tenemos la misma inclinación para todos los puntos de la línea. No es un error. Se debe a que a veces la vida es impredecible y cambia a ritmos muy extraños. Si nos interesara más el significado general de la vida (es 42, por cierto), podríamos calcular la velocidad general de cambio (en este caso, entre x = 0 y x = 7) y esto nos daría una idea un poco mejor.

Los estudiantes deben saber que podemos calcular la razón de cambio promedio para cualquier función. Tener una relación lineal es genial, pero no es necesario; siempre y cuando tengamos valores iniciales y finales para x y f(x), no debería haber ningún problema. Si se sienten confundidos o batallan, te recomendamos relacionar la razón de cambio con la inclinación de una línea. Cada función tiene una "inclinación" entre dos puntos, y la razón de cambio es la manera de encontrar esa inclinación.

Claro está que podemos expandir la idea de la razón de cambio a las funciones no lineales y a situaciones de la vida real, pero todas vuelven al mismo principio básico: el helado.