3. Reconoce que las progresiones son funciones, que a veces tienen una definición recurrente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la definición recurrente de la sucesión de Fibonacci es f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) para n ≥ 1.

A la hora de manipular funciones (con cuidado, que son muy delicadas), será fácil ver que emergen patrones al comparar los valores de x e y. Los estudiantes deben saber que estos patrones no ocurren por casualidad y que, a diferencia de ciertos tapices estampados, no harán que tu cocina parezca ser de la década de 1970.

También deben saber que estos patrones pueden ser vistos como progresiones, o como una lista de números. Las progresiones pueden ser aritméticas (en las que se añade o se resta el mismo número), o geométricas (en las que se multiplica o se divide el mismo número).

Las progresiones aritméticas se pueden convertir en funciones del tipo A(n) = A(1) + (n – 1)d donde A(n) es el valor del término n, A(1) es el valor del primer término, n es el número del término y d es la diferencia común entre los términos. Así pues, la sucesión 3, 8, 13, 18...se puede ver como la función A(n) = 3 + 5(n – 1). De esta manera, el término n de la sucesión tendrá el valor A(n).

Las progresiones geométricas adquieren una forma semejante. G(n) = G(1) × r^{n – 1} donde G(n) es el valor del término n, G(1) es el valor del primer término, n es el número del término, y r es la razón común entre los términos. Entonces, la sucesión 3, 6, 12, 24, 48...se puede ver cómo la función G(n) = 3 × 2^{n – 1}. De esta manera, el término n de la sucesión tendrá el valor G(n).

Los estudiantes deben saber que las progresiones pueden tener una definición recursiva, o pueden usar términos previos para definir términos futuros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci es una lista de números en los que cada término es la suma de los dos anteriores. Así pues, tenemos que 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etcétera. Le podemos dar la definición recurrente f(n + 1) = f(n) + f(n– 1). Una vez que se definen los dos primeros términos (f(0) = f(1) = 1), la sucesión puede seguir y seguir, un poco como el conejito de las baterías Energizer.

Los estudiantes van a adquirir gran capacidad de ver las funciones en sucesiones, tanto que se sorprenderán cuando también empiecen a convertir otras cosas en funciones. De hecho, debe llegar a ser parte de su naturaleza.

Quizás llegarán a analizar el número de veces que respiran como una función del tiempo. El número de veces que estornudan como una función de sus alergias. El número de castigos que reciben como una función de las veces que le pegan a propósito con la pelota al entrenador González. Disculpe, Profe.