1. Entiende que una función que va de un primer conjunto (llamado dominio) a un segundo conjunto (llamado recorrido) asigna a cada elemento del dominio un único elemento del recorrido. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la variable dependiente de f que corresponde a la variable independiente de x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).

Una función es como cualquier otro sistema. Lo que sale del sistema depende de lo que entra. Piensa en el cuerpo humano. Los alimentos entran a nuestro sistema digestivo y sale algo muy distinto. (Qué asco). Lo que entra a nuestros cuerpos afecta lo que sale y si no lo crees, cómete una remolacha o unos espárragos y ya verás.

Los estudiantes deben entender que las funciones hacen lo mismo, solo que con números. (Está bien, quizás no sea exactamente lo mismo). Se trata de describir las relaciones entre dos conjuntos de números. Estos dos conjuntos de números han de cumplir con la condición de que cada elemento del primer conjunto corresponda con exactitud con un elemento del segundo conjunto.

En otras palabras, para cada variable independiente hay solo una variable dependiente. Esto sería algo así como el lema de las funciones.

Los estudiantes deben saber que las funciones se pueden expresar como un par de variables independientes y dependientes. Una relación matemática es un conjunto de pares de variables independientes y dependientes, por lo general, representadas en pares ordenados. Por ejemplo, el par ordenado (1, 2) significa que para el valor independiente 1, obtendremos un valor dependiente 2. El par ordenado (2, 3) significa que si entran 2, salen 3. Se suele representar así: (x, y).

El dominio es el conjunto de variables independientes en una relación, que también se conoce como el conjunto x de un par ordenado. El rango es el conjunto de variables dependientes en una relación, que también se conoce como el conjunto y de un par ordenado. Si los estudiantes batallan para recordar cuál es cuál, diles que piensen en orden alfabético. Como d va antes que r, el dominio tiene que ir antes que el rango. Si eso no funciona, el acrónimo "DIXRDY" quizás sí. (Dominio, independiente, x; rango, dependiente, y).  

 Para comenzar, los estudiantes pueden representar las funciones como varios pares ordenados en forma de tabla. Una columna será la variable independiente, o los valores x, y la otra será la variable dependiente, o los valores y. Por ejemplo, podemos reescribir los tres puntos de una función (-2, 3), (0, 4) y (1, -3) en la siguiente tabla.

Aquí, tenemos nuestro dominio (D: x = -2, 0, 1) y rango (C: y = 3, 4, -3) definidos con claridad. Cualquier tabla en la que un mismo valor para x dé como resultado múltiples valores y no es una función. ¿Recuerdas el lema de las funciones?

Cuando los dominios y rangos abarcan más que unos cuantos puntos selectos, se suelen incluir entre paréntesis o corchetes. Los paréntesis indican que el punto de ese lado no está incluido, mientras que los corchetes indican que sí está incluido. Cuando se incluye el símbolo ∞, se usan paréntesis. Esto es lógico, puesto que el infinito, en realidad, no es un número y no se puede alcanzar.

A pesar de lo útiles que resultan las tablas, muchas funciones tienen dominios y rangos que se extienden hacia el infinito en el sentido positivo y negativo. Cuando las tablas de datos de los estudiantes empiecen a ser más largas que sus brazos, recomendamos que se pasen a las gráficas. Evita un dolor de cabeza y aprovecha para salvar algunos árboles.

Una gráfica es una representación visual de relaciones. Trazamos las variables independientes como x y las variables dependientes como y, y representamos los pares ordenados (x, y) como puntos en el plano cartesiano. Para la función anterior, podríamos trazar los puntos como (-2, 3), (0, 4) y (1, -3).

Los estudiantes también deben saber que las curvas en el plano cartesiano pueden representar funciones, como y = f(x) donde f(x) es alguna función de x. En otras palabras, se trata de un montón de puntos que están tan juntos que forman una curva continua. Por ejemplo, estos puntos podrían ser parte de una función mayor, como se muestra en la gráfica a continuación.

Si los estudiantes no están seguros de si lo que están viendo es una función o no, deben realizar la prueba de la recta vertical: si trazan una línea vertical en una gráfica de una relación y esta se cruza con la curva más de una vez, la relación no es una función.

El concepto fundamental que hay que recordar es que las funciones son sistemas en los que una variable independiente corresponde a una variable dependiente. Del mismo modo que el cuerpo humano es un sistema en el que cada comida corresponde a una visita al baño. O algo así.